Fonctionnement

La nature récursive des règles de production des L-systèmes impose une certaine autosimilarité du motif généré. Les L-systèmes permettent par conséquent de fabriquer simplement et rapidement des fractales, aussi connues sous le nom de fractales IFS (Iterated function System), comme le montre l'exemple suivant :

Figure 1.1: L-système linéaire, ou fractale IFS

Les grammaires générées par les L-systèmes ressemblent beaucoup aux grammaires "semi-Thue". Elles se définissent par un ensemble de 4 paramètres :

$G = \{Vn, Vt, F, P\}$

où

• Vn contient l'ensemble des éléments non terminaux (ou variables informatiques),
• Vt est l'ensemble des éléments terminaux (constantes)
• F est l'axiome (symbole de départ)
• P est l'ensemble des règles de production
  

Pour alléger l'écriture, nous considérerons par la suite dans ce document que l'axiome est le symbole F.

Pour illustrer la fonctionnalité de ces réécritures récursives, prenons la règle suivante :

F $\rightarrow$ F-F++F-F

Lorsque l'on commence par un simple trait horizontal, nous obtenons alors, après une itération, ceci :

Figure 1.2: L-système de Von Koch - une itération

Et voici ce que nous obtenons avec une figure initiale triangulaire, puis en appliquant la même règle de production durant 3 itérations :

Figure 1.3: Flocon de von Koch, en 3 itérations

Les L-systèmes et autres fractales et fractales IFS sont utilisés dans de nombreux domaines, aussi bien dans la compression d'images (compression fractale, basée sur les autosimilarités locales dans une image), dans la physique (par exemple dans l'optimalité de la dispersion thermique), dans la modélisation de la nature (flocon de neige, fougère, etc...), que dans l'analyse financière et boursière. (cf. travaux de B. Mandelbrot)

Ces méthodes sont par conséquent incontournables.